Cicero

Getallen ontraadseld

Alex Bellos - Getallen ontraadseld

Niet altijd gaan mijn ‘boekbesprekingen’ over literatuur. Zo af en toe sluipt er een non-fictie boek tussen dat zich opdringt in mijn aandacht, en dat ik de moeite van het lezen en bespreken waard vind.
Alex Bellos legt in 'Getallen ontraadseld' de basisprincipes van wiskunde uit. Hij maakt het niet ingewikkelder dan nodig en legt op een simpele wijze rekenvraagstukken uit. Behalve over getallen en statistiek schrijft hij ook over symbolen. Door zijn enthousiaste aanpak weet hij de veelvoorkomende angst voor getallen weg te nemen. Hij laat zien dat het bij wiskunde vooral gaat om creatief denken en hoe wiskunde ook in andere disciplines in het leven van belang is.

Op de laatste bladzijde van zijn boek vat de schrijver zijn ‘reis’ door de wiskunde als volgt samen:
“Zoals ik in de eerste hoofdstukken van dit boek schreef, ontstond wiskunde als onderdeel van het streven van de mens om zijn omgeving te begrijpen. Door inkepingen in hout te maken of op de vingers te tellen, vonden onze voorouders de getallen uit. Dit was handig in de landbouw en de handel en leidde ons naar de ‘beschaving’. Naarmate de wiskunde zich ontwikkelde, ging ze steeds minder over bestaande dingen en steeds meer over abstracties. De Grieken introduceerden concepten zoals een punt en een lijn en de Indiërs vonden de nul uit, wat de deur opende naar nog radicalere abstracties, zoals negatieve getallen. Hoewel deze concepten aanvankelijk tegen onze intuïtie indruisten, werden ze snel overgenomen en nu gebruiken we ze elke dag. Tegen het eind van de negentiende eeuw echter brak de navelstreng tussen de wiskunde en onze eigen ervaring definitief.”
Dat gebeurde met het bewijs dat ‘oneindig’ niet de laatste grens is, maar dat er nog grotere oneindigheden zijn voorbij oneindig...

In elf hoofdstukken wordt telkens een ander aspect van de wiskunde besproken, die op het eerste gezicht los van elkaar staan, zoals het getal nul, op wiskunde gebaseerde spellen, Euclidische versus Vedische wiskunde. Uiteindelijk weet de schrijver uit die verschillende puzzelstukken een vrij compleet totaalplaatje te construeren. Als ik op de middelbare school een wiskundeleraar gehad zou hebben met 20 procent van de bevlogenheid van Alex Bellos, dan zou ik dit vak ongetwijfeld langer hebben volgehouden....
Getallen ontraadseld doet mij sterk denken aan Alberto Manguels Geschiedenis van het lezen. De benadering van de respectievelijke onderwerpen is vergelijkbaar, terwijl het ene boek over wiskunde gaat en het andere over taal. De overeenkomsten zijn echt frappant, en ik moet zeggen dat ik beide boeken met even veel plezier gelezen heb, terwijl wiskunde toch echt niet mijn ‘ding’ is. Dat lijkt me een groot genoeg compliment voor dit boek...

Twee voorbeelden om te illustreren dat Bellos weliswaar – naast alledaagse wiskundige ‘problemen’ – vaak erg fundamentele zaken bespreekt, maar dat die op een zodanige manier worden gepresenteerd en uitgelegd dat ze voor een leek (waaronder ik mijzelf zeker reken) te bevatten zijn:

1. In het hoofdstuk over kansberekening komt hij te spreken over het ‘wiskundig bewijs’ dat de filosoof Blaise Pascal leverde voor het bestaan van God. Hij doet dit aan de hand van het begrip ‘verwachte waarde’, waarmee onder andere ook de winst/verlieskansen berekend kunnen worden van roulette, fruit-automaten en andere gokspellen. Volgens Bellos was Pascal “een van de eerste denkers die het begrip verwachte waarde onderzocht, maar hij hield zich met hogere dingen bezig dan de financiële opbrengst aan de dobbeltafel. Hij wilde weten of het de moeite loonde op het bestaan van God te wedden.” Vervolgens wordt de ‘weddenschap’ van Pascal uitgelegd en weerlegd.
2. In het laatste hoofdstuk (“het eind van de lijn”) bespreekt de schrijver het begrip ‘oneindigheid’, dat vele wetenschappers (met name wiskundigen) hoofdbrekens oplevert. Hij illustreert dit aan de hand van ‘de paradox van Galilei’, de beroemde sterrenkundige:
- Sommige getallen zijn een kwadraat, zoals 1, 4, 9 en 16, en sommige zijn geen kwadraat, zoals 2, 3, 5, 6, 7 enzovoort.
- Het totaal van alle getallen moet groter zijn dan het totaal van de kwadraten; het totale aantal getallen omvat immers kwadraten en niet-kwadraten.
- Toch kunnen we voor elk getal een een-op-een-overeenkomst aanbrengen tussen getallen en hun kwadraten, want elk getal kun je kwadrateren (met zichzelf vermenigvuldigen).
- In feite zijn er dus evenveel kwadraten als getallen. Wat een contradictie is, aangezien we in punt 2 hebben gezegd dat er meer getallen dan kwadraten zijn.
Galilei concludeerde dat, wat oneindigheid betreft, de numerieke concepten ‘meer dan’ en ‘minder dan’ zinloos zijn. Die termen mogen dan begrijpelijk en coherent zijn als we het over eindige hoeveelheden hebben, maar niet als het over oneindige hoeveelheden gaat. Zo’n conclusie is natuurlijk wat onbevredigend...
Bellos beschrijft vervolgens het gedachtegoed van de 19e eeuwse wiskundige Georg Cantor, die een nieuwe manier ontwierp om over oneindigheid te denken, die de paradox van Galilei overbodig maakt. Moeilijk te bevatten allemaal, maar helder uitgelegd, en aantonend dat ‘grenzen’ niet zo vast liggen en er altijd weer iemand is die ze weet te overschrijden.

Fascinerende lectuur, kortom. Dit is een boek dat iedereen zou moeten lezen die niet vies is van wat algemene ontwikkeling, en niet bang om zijn hersens een keer te laten (over-) werken... Het heeft mij van de eerste tot de laatste zin geboeid.